数学

数列

• 前$n$项和公式
  $S_n=\dfrac{n(a_n+a_1)}{2}$

  $T_n=\dfrac{a_1-a_nq}{1-q}$

求和

1. 分组
   已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$2S_n=3a_n-3$
   1. 求数列$\{a_n\}$的通项公式
      当$n=1$时
      $2S_1=3a_1+3$
      $\therefore a_1=3$
      当$n\geq 2$时
      $\because 2S_n=3a_n-3$
      $\therefore 2S_{n-1}=3a_{n-1}-3$
      两式相减
      $\therefore a_n=3a_{n-1}$
      带入$a_1=3$，上式成立
      $\therefore \{a_n\}$是首相为$3$，公比为$3$的等比数列
      $\therefore a_n=3^n$
   2. 设$b_n=2log_3a_n+(-1)^n\times n$，求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$
      由（1）得$a_n=3^n$
      $\therefore b_n=2n+(-1)^n\times n$
      当$n$为偶数时
      $T_n=(2+4+6+\cdots+2n)-1+2-3+4-\cdots+(-1)^{n-1}\times(n-1)+(-1)^n\times n$
      前半部分为等差数列，后半部分两两为一组，每组都是 1，共二分之 n 组
      $T_n=\dfrac{n(2+2n)}{2}+\dfrac{n}{2}=\dfrac{3n+2n^2}{2}$
      当$n$为奇数时
      $T_n=(2+4+6+\cdots+2n)-1+2-3+4-\cdots+(-1)^{n-1}\times(n-1)$
      $T_n=\dfrac{n(2+2n)}{2}+\dfrac{n-1}{2}-n=\dfrac{2n^2+n-1}{2}$
2. 并项
   已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2$，$S_n$为$\{a_n\}$的前$n$项和
   1. 求$\{a_n\}$的通项公式
   2. 设$b_n=(-1)^nSn$，求数列$\{b_n\}$的前100项的$T_{100}$
3. 错位
   已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n+a_n=3n-1$，$n\in N^+$
   1. 证明$\{a_n-3\}$是等比数列
   2. 求$\{na_n\}$的前$n$项和$T_n$
4. 裂项
   已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$8a_3=a_6$，$a_2+a_5=36$
   1. 求数列$\{a_n\}$的通项公式
   2. 设$b_n=\dfrac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)}$，为数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$

题型

• 定义法
  • 判定
    • 等差数列
      定义法：证$a_{n+1}-a_n=$定值
    • 等比数列
      定义法：证$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(q\not ={0}$的常数$)\Longleftrightarrow$数列$\{a_n\}$是等比数列
  • 例题
    1. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}$，且$a_1=2$，证明：$\{\dfrac{a_n}{x^n}\}$是等差数列
    2. 已知数列$\{a_n\}$的首项$a_1=\dfrac{2}{3}$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n}{a_n+1}$
• 累加法
• 累乘法
• 倒数法
• 取对数法
• 待定系数法
• 同除以指数幂
• 已知通项公式$a_n$与前$n$项的和$S_n$关系求通项
• “求和公式换元”型（新数列前$n$项和型）
• 奇偶讨论型

三角函数

• 降幂
  $cos^2\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2}$

  $sin^2\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2}$

• 二倍角
  $sin2\alpha =2sin\alpha * cos\alpha$
  $cos2\alpha =cos^2\alpha - sin^2\alpha =2cos^2\alpha -1=1-2sin^2\alpha$
  $tan2\alpha =\dfrac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }$

几何

• 点到线距离
  $d=\dfrac{\lvert ax+by+c\rvert }{\sqrt{a^2+b^2}}$

圆锥曲线

• 椭圆
  $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$

  $a^2=b^2+c^2$
  $e=\dfrac{c}{a}$

• 双曲线
  $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0, b>0)$

  $c^2=a^2+b^2$
  $e=\dfrac{c}{a}$
  $y=\pm \dfrac{b}{a}x$

• 抛物线
  $y^2=2px\ (p>0)$
  $x=-\dfrac{p}{2}$
  $(\dfrac{p}{2}, 0)$

统计

基本模型

• 二项分布：$n$次独立实验，$p$为发生概率，$q=1-p$
  $P(x=k)=C_n^kp^kq^{n-k}\ k\in [0,n]$
  $E(x)=np$
  $D(x)=npq$

• 超几何：$N$个中有$M$个目标，取$n$个，命中$x$个目标
  $P(x=k)=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\ k\in [0,n]$

• 正态分布
  $P(\mu - \sigma <X\le \mu + \sigma)=0.6826$
  $P(\mu - 2\sigma <X\le \mu + 2\sigma)=0.9544$
  $P(\mu - 3\sigma <X\le \mu + 3\sigma)=0.9974$

变量的相关性

• 样本相关系数
  $r=\dfrac{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}\sqrt{\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}}$
  当$r>0$时，成对样本数据正相关
  但$r<0$时，成对样本数据负相关
  但$|r|$越接近$1$时，成对样本数据的线性相关程度越大
  但$|r|$越接近$0$时，成对样本数据的线性相关程度越小

• 一元线性回归模型

  1. 我们将$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$称为$Y$关于$x$的经验回归方程，其中$\hat{b}=\dfrac{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}$、$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$
  2. 残差：观测值减去预测值

• 回归分析
  $R^2=1-\dfrac{\sum^n_{i=1}(y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2}$
  $\sum^n_{i=1}(y_i-\hat{y}_i)^2$是残差平方和
  $R^2$越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好