物理

公式

匀变速直线运动

速度公式
$v_t=v_0+at$
位移公式
$x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$
位移——速度公式
$x=\overline{v}t=\dfrac{v_0+v_t}{2}t$
常用公式
$v_t^2-v_0^2=2ax$
$x_2-x_1=aT^2$
$v_{\frac{t}{2}}=\dfrac{v_0+v_t}{2}$
$v_{\frac{x}{2}}=\sqrt{\dfrac{v_0^2+v_t^2}{2}}$
自由落体运动
$v=gt$
竖直上抛运动
返回时间 $t=\dfrac{2v_0}{g}$
高度 $H=\dfrac{v_0^2}{2g}$
平抛运动
$v_x=v_0,v_y=gt$
$x=v_0t,y=\dfrac{1}{2}gt^2$
轨迹 $y=\dfrac{g}{2v_0^2}x^2$
斜上抛运动
$v_x=v_0cos\alpha$
$v_y=v_0sin\alpha -gt$
$x=v_0cos\alpha\cdot t$

力

重力
$G=mg$
弹力
$F=kx$ (胡克定律)
滑动摩擦力
$F=\mu F_N$
万有引力
$F=G\dfrac{Mm}{r^2}$
向心力
$F_{\text{向}}=m\dfrac{v^2}{r}=m\omega^2r=m(\dfrac{2\pi}{T})^2r$
回复力
$F=-kx$
二力合成
$F^2_{\text{合}}F^2_1+F^2_2+2F_1F_2cos\alpha$
$tan\theta=\dfrac{F_2sin\alpha}{F_1+F_2cos\alpha}$
$\alpha$ 是 $F_1$ 与 $F_2$ 的夹角
$\theta$ 是 $F_{\text{合}}$ 与 $F_1$ 的夹角
正交分解法
$F^2_{\text{合}}=F^2_x+F^2_y$
$tan\theta=\dfrac{F_y}{F_x}$
$\theta$ 是 $F_{\text{合}}$ 与 $x$ 轴的夹角
共点力平衡
$F_{\text{合}}=0$

加速度

决定式
$\alpha=\dfrac{F}{m}$
定义式
$\alpha=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$
匀变速直线运动
$a=\dfrac{\Delta x}{T^2}$
匀速圆周运动
$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r$
弹簧振子
$a=-\dfrac{k}{m}x$

力学定理定律

牛顿第一定律
物体不受力时，则 $v=0$ 或 $v$ 不变
牛顿第二定律
$F=ma$
牛顿第三定律
若两物体相互作用，则 $F_1=-F_2$
动能定理
$F_{\text{合}}s=\Delta E_k$
机械能守恒定律
$mgh_1+\dfrac{1}{2}mv_1^2=mgh_2+\dfrac{1}{2}mv_2^2$
动量守恒定律
$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$
动能定理
$F_t=\Delta p$
功能定理
$W_F=E_2-E_1=\Delta E$

电场

电场强度
定义式 $E=\dfrac{F}{q}$
点电荷 $E=\dfrac{kQ}{r^2}$
匀强电场 $E=\dfrac{U}{d}$
电场力
定义式 $F=qE$
点电荷 $F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}$
电势差
定义式 $U_{12}=\dfrac{W_{12}}{q}=\varphi_1-\varphi_2$
电势
定义式 $\varphi=\dfrac{E_p}{q}$
电功
匀强电场 $W=qEd$
定义式
$W_{AB}=qU_{AB}$
电容
定义式 $C=\dfrac{Q}{U}$
决定式 $C=\dfrac{\varepsilon_rS}{4\pi kd}$

电路

电流
$I=\dfrac{q}{t}$
电阻串联
$R=R_1+R_2$
电阻并联
$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}$
电池串联
$E=nE$
$r_{\text{总}}=nr$
电池并联
$E_{\text{总}}=E$
$r_{\text{总}}=\dfrac{r}{n}$
欧姆定律
$U=E-Ir$
$I=\dfrac{E}{R+r}=\dfrac{U}{R}$
电阻定律
$R=\rho\dfrac{L}{S}$
电阻率 $\rho=\dfrac{RS}{L}$
电功
$W=UIt$
电热
$Q=I^2Rt$
功率
$P=UI$
纯电阻 $P_R=I^2R$

磁场

磁感应强度
定义式 $B=\dfrac{F}{IL}$
转化式 $B=\dfrac{\Phi}{S}$
磁场力
安培力 $F=BILsin\theta$
洛伦兹力 $F=qvB\ (v\bot B)$
带电粒子只受洛伦兹力做匀速圆周运动时（ $v\bot B$ ）
半径
$r=\dfrac{mv}{Bq}$
周期
$T=\dfrac{2\pi m}{Bq}$

电磁感应

法拉第电磁感应定律
$E=n\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$
导线平动切合磁感线
$E=BLvsin\theta$
导线转动切割磁感线
$E=\dfrac{B\omega L^2}{2}$
线圈转动切割磁感线
$E=nBS\omega sin\omega t$

交流电

单相
最大值 $E_{max}=nB\omega S$
有效值 $E=\dfrac{nBS\omega}{\sqrt{2}}$
平均值 $\overline{E}=n\cdot\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$
瞬时值 $E'=nB\omega Ssin\omega t$
理想变压器
普适 $\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{n_1}{n_2}$ 、 $P_{\text{入}}=P_{\text{出}}$ 、 $f_1=f_2$
一个副线圈 $\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$
远距离输电
$P_{\text{损}}=\dfrac{P_{\text{送}}^2R_{\text{线}}}{U_{\text{送}}^2}$

热学

热力学温度
$T=t+273K$
阿伏伽德罗常数
$N_A=\dfrac{M_{mol}}{m_{\text{个}}}=\dfrac{V_{mol}}{V_{\text{个}}}$
玻意耳定律
$p_1V_1=p_2V_2$
查理定律
$\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}$
盖·吕萨克定律
$\dfrac{V_1}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2}$
理想气体状态方程
$\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}$
热力学第一定律
$\Delta U=W+Q$
热机的效率
$\eta=\dfrac{Q_1}{Q}\times 100\%$

机械振动

单摆
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ ( $\theta$ 很小)
弹簧振子
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

机械波

波速公式
$v=f\lambda=\dfrac{\lambda}{T}$

电磁波

电磁振荡周期和频率
$T=2\pi\sqrt{LC}$
$f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
电磁波波长公式
$\lambda=\dfrac{c}{f}=cT$

动量冲量定理

$p=mv$
$I=Ft$
$Ft=mv_2-mv_1$

碰撞

弹性碰撞
$v_1'=\dfrac{(m_1-m_2)v_1+2m_2v_2}{m_1+m_2}$
$v_2'=\dfrac{(m_2-m_1)v_2+2m_1v_1}{m_1+m_2}$
完全非弹性碰撞
$v=\dfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

光学

折射定律
$n_{12}=\dfrac{sin\theta _1}{sin\theta _2}$
折射率
$n=\dfrac{sin\ i}{sin\ r}=\dfrac{c}{v}$
全反射临界角
$sinC=\dfrac{1}{n}$
光子
能量 $E=hv$
动量 $p=\dfrac{h}{\lambda}$
光波
$\lambda=\dfrac{v}{f}$
干涉条纹宽度
$\Delta x=\dfrac{L\lambda}{d}$
光电效应
$hv=W_0+\dfrac{1}{2}mv_2$

磁场

（图：左手定则，四指并拢为电流方向，电场线从掌心穿过且可不垂直，大拇指为安培力方向）
安培力 $=BId$
（待验证，当初速度为 0 时）
$v^2=2ax$
$Fx=\dfrac{1}{2}mv^2$
冲量 $I=mv=Ft=xv$
洛伦兹力是安培力的微观表现，左手定则适用。
洛伦兹力 $=qvB \cos{\theta}=$
（图）
洛伦兹力 $=qvB \sin{\theta}=$
（图）
圆周运动条件（图）
最后合力必 $=$ 洛伦兹力

洛伦兹力向心力
$qvB=m\dfrac{v^2}{r}$
轨道半径 $r=\dfrac{mv}{Bq}$
周期 $T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi m}{Bq}$
粒子速度方向的角 $\theta$ 等于圆周角 $\alpha$

例题

电磁感应切割模型

如图所示，两水平放置的平行光滑导轨处于垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为 $B=1T$ ，两导轨间的距离为 $L=0.5m$ ，金属棒 $ab$ 可沿导轨滑动，摩擦不计。 $ab$ 的质量为 $m=0.4kg$ ，电阻为 $r=0.4\Omega$ ，开始时静止于 $cd$ 右侧1 $m$ 处，外接电阻的阻值为 $R=0.4\Omega$ 。若金属棒在恒力 $F=5N$ 作用下从静止开始滑动，经过距离 $x=6m$ 后，撤去外力，此时金属棒已经达到最大速度。
电磁感应切割模型

电路中相当于电源的是 $\underline{\text{金属棒}ab}$ ， $\underline{a}$ 为电源正极
达到最大速度时，导体棒所受的安培力
由平衡条件得： $F_{\text{安}}=F=5N$
达到最大速度时，通过导体棒的感应电流
由 $F_{\text{安}}=BIL$ 得 $I=10A$
达到最大速度时，导体棒产生的感应电动势
$E=I(R+r)=10\times 0.5V=5V$
达到最大速度时，导体棒两端 $ab$ 两点的电压
$U_{ab}=IR=10\times 0.4V=4V$ 或 $U_{ab}=E-Ir=4V$
金属棒所能达到的最大速度
由 $E=BLv_m$ 得 $v_m=10m/s$
金属棒的速度为 $5m/s$ 时，金属棒的加速度
公式
$I_1=\dfrac{BLv_1}{R+r}$
$F_1=BI_1L=\dfrac{B^2L^2v_1}{R+r}$
当 $v_1=5m/s$ 时
由 $F-F_1=ma$ 得 $a=6.25,/s^2$
达到最大速度时，金属棒消耗的电功率
$P_r=I^2r=10W$
达到最大速度时，电路中消耗的电功率
$P=IE=50W$ 或 $P=I^2(R+r)=50W$
导体棒通过前 $6m$ 的这段时间内整个电路产生的热量
由功能关系得 $Fs=Q+\dfrac{mv^2}{2}$ ，解得 $Q=10J$
导体棒通过前 $6m$ 的这段时间内内电阻 $R$ 产生的热量
$Q_R=\dfrac{R}{R+r}Q=8J$
撤去外力后，金属棒后续运动过程中产生的热量
撤去外力后，由能量守恒得： $Q^{\prime}=\dfrac{1}{2}mv^2_m=20J$
$Q^{\prime}_r=\dfrac{r}{R+r}Q^{\prime}=4J$
导体棒通过前 $6m$ 的这段时间内通过电阻 $R$ 的电荷量
电荷量 $q=\overline{I}\Delta t$ ，又 $\overline{I}=\dfrac{\overline{E}}{R+r}$ ， $\overline{E}=\dfrac{B\cdot Lx}{\Delta t}$
联立解得 $q=\dfrac{BLx}{R+r}=6C$
撤去外力后，通过金属棒的电量及金属棒还能滑行的距离
撤去 $F$ 后滑行过程，由动量定理得： $-B\overline{I}^{\prime}L\Delta t^2=0-mV_m$
即 $BLq^{\prime}=mVm$
由（13）题可得 $q^{\prime}=\dfrac{BLx^{\prime}}{R+r}$
故可得 $x^{\prime}=8m$
若是金属棒从静止开始以 $1m/s^2$ 的加速度做匀加速直线运动，应该给金属棒加怎样的外力
因 $V=a^{\prime}t$ ， $F_{\text{安}}=BI_2L=\dfrac{B^2L^2a^{\prime}t}{R+r}$
又 $F-F_{\text{安}}=ma^{\prime}$
带入数据解得 $F=0.4+0.5t\ (N)$
磁感应强度从 $1T$ 开始，每秒递增 $0.5T$ ，为使导体棒处于静止状态，应该给导体棒施加一个怎样的外力
由题意可知 $B=B_0+kt=1+0.5t\ (T)$
则 $E_3=\dfrac{\Delta B}{\Delta t}LX_0=0.5\times 0.5\times 1V=0.25V$
$I_A=\dfrac{E_{安}}{R+r}=0.5A$
由平衡条件得 $F^{\prime}=BI_3L=0.25+0.125t\ (N)$
若导体棒向右以 $10m/s$ 的速度做匀速直线运动，磁感应强度的初始值为 $1T$ ，为使电路中始终没有电流，试求磁场随时间变化的关系式
因始终没有电流，则 $\Delta \Phi=0$ ，即 $\Phi_0=\Phi$
又 $\Phi_0=B_0LX_0=0.5Wb$
$\Phi=BL(X_0+vt)=0.5B(1+10t)Wb$
联立以上各式解得 $B=\dfrac{1}{1+10t}\ (T)$

电动机与发电机模型

如图所示，水平平行金属导轨间距 $L=1.0m$ ，电阻不计。电阻 $R=0.9\Omega$ ，电池电动势 $E=1.5V$ ，内阻不计。匀强磁场方向垂直于纸面向里， $B=0.5T$ 。一根质量 $m=100g$ ，电阻 $r=0.1\Omega$ 的金属棒 $ab$ 正交地跨接于两导轨上。不计导轨的摩擦
电动机与发电机模型

当开关 $S$ 倒向 $A$ 接触点瞬间，金属棒 $ab$ 中的电流和金属棒的加速度
当开关 $S$ 倒向 $A$ 接触点后，金属棒 $ab$ 的最大速度和此时金属棒 $ab$ 中的电流
当开关倒向 $A$ 接触点，金属棒 $ab$ 达到最大速度后，接着将开关 $S$ 倒向 $C$ 触点，求此刻金属棒 $ab$ 中的电流和加速度
当开关 $S$ 倒向 $A$ 接触点的同时，以 $F=1.25N$ 的外力向右拉动 $ab$ 棒，求 $b$ 棒所能达到的最大速度
在（4）中，当 $ab$ 棒达到的最大速度后，接着将开关 $S$ 倒向 $C$ 触点，求此刻金属棒 $ab$ 中的电流和加速度
若将匀强磁场反向，大小不变。当开关 $S$ 倒向 $A$ 接触点的同时，以 $F=1.25N$ 的外力向右拉动 $ab$ 棒，求 $ab$ 棒所能达到的最大速度
在（6）中，当 $ab$ 棒达到的最大速度后，接着将开关 $S$ 倒向 $C$ 触点，求此刻金属棒 $ab$ 中的电流和加速度
若导轨的动摩擦因数为 $\mu=0.2$ ，当开关 $S$ 倒向 $A$ 接触点后，金属棒 $ab$ 的最大速度和此时金属棒 $ab$ 中的电流